20 бързи упражнения за уравнения с една неизвестна
Стефан Стратиев 22/10/2025
Уравнението с една неизвестна е математически израз, в който имаме неизвестно число (обикновено означено с x), което трябва да намерим. Решаването на такива уравнения е фундаментално умение в алгебрата.
Основни правила при решаване на уравнения
- Можем да прибавяме или изваждаме едно и също число от двете страни на уравнението
- Можем да умножаваме или делим двете страни на уравнението с едно и също число (различно от 0)
- Можем да прилагаме тъждествени преобразувания на всяка от страните на уравнението
20 упражнения за уравнения с една неизвестна
Ето 20 упражнения с нарастваща сложност, които ще ви помогнат да затвърдите знанията си:
Ниво 1: Прости линейни уравнения
▶ Упражнение 1: Решете уравнението x + 5 = 12
Решение: x + 5 = 12
x = 12 - 5
x = 7
▶ Упражнение 2: Решете уравнението 2x = 14
Решение: 2x = 14
x = 14 ÷ 2
x = 7
▶ Упражнение 3: Решете уравнението x - 8 = 3
Решение: x - 8 = 3
x = 3 + 8
x = 11
▶ Упражнение 4: Решете уравнението 3x + 1 = 10
Решение: 3x + 1 = 10
3x = 10 - 1
3x = 9
x = 9 ÷ 3
x = 3
▶ Упражнение 5: Решете уравнението 4x - 7 = 13
Решение: 4x - 7 = 13
4x = 13 + 7
4x = 20
x = 20 ÷ 4
x = 5
Ниво 2: Уравнения с променливи от двете страни
▶ Упражнение 6: Решете уравнението 2x + 3 = x + 8
Решение: 2x + 3 = x + 8
2x - x = 8 - 3
x = 5
▶ Упражнение 7: Решете уравнението 5x - 2 = 3x + 6
Решение: 5x - 2 = 3x + 6
5x - 3x = 6 + 2
2x = 8
x = 4
▶ Упражнение 8: Решете уравнението 3(x + 2) = 2(x - 1) + 13
Решение: 3(x + 2) = 2(x - 1) + 13
3x + 6 = 2x - 2 + 13
3x + 6 = 2x + 11
3x - 2x = 11 - 6
x = 5
Ниво 3: Уравнения със скоби и дроби
▶ Упражнение 9: Решете уравнението 4(x - 3) = 2(2x + 1)
Решение: 4(x - 3) = 2(2x + 1)
4x - 12 = 4x + 2
4x - 4x = 2 + 12
0 = 14
Противоречие! Уравнението няма решение.
▶ Упражнение 10: Решете уравнението 2(x + 3) - 3(x - 1) = 4
Решение: 2(x + 3) - 3(x - 1) = 4
2x + 6 - 3x + 3 = 4
2x - 3x + 6 + 3 = 4
-x + 9 = 4
-x = 4 - 9
-x = -5
x = 5
▶ Упражнение 11: Решете уравнението (x + 2)/3 = (x - 1)/2
Решение: (x + 2)/3 = (x - 1)/2
2(x + 2) = 3(x - 1)
2x + 4 = 3x - 3
2x - 3x = -3 - 4
-x = -7
x = 7
Ниво 4: По-сложни уравнения
▶ Упражнение 12: Решете уравнението (2x - 1)/3 + (x + 2)/2 = 5
Решение: (2x - 1)/3 + (x + 2)/2 = 5
Привеждаме към общ знаменател 6:
2(2x - 1)/6 + 3(x + 2)/6 = 5
(4x - 2 + 3x + 6)/6 = 5
(7x + 4)/6 = 5
7x + 4 = 30
7x = 26
x = 26/7
▶ Упражнение 13: Решете уравнението 3(2x - 1) - 2(x + 4) = x - 11
Решение: 3(2x - 1) - 2(x + 4) = x - 11
6x - 3 - 2x - 8 = x - 11
6x - 2x - x = -11 + 3 + 8
3x = 0
x = 0
▶ Упражнение 14: Решете уравнението 4 - (3 - x) = 2(x - 1) - 3
Решение: 4 - (3 - x) = 2(x - 1) - 3
4 - 3 + x = 2x - 2 - 3
1 + x = 2x - 5
1 + x - 2x = -5
-x = -5 - 1
-x = -6
x = 6
Ниво 5: Параметрични и съставни уравнения
▶ Упражнение 15: Решете уравнението (x² - 4)/(x - 2) = x + 2
Решение: (x² - 4)/(x - 2) = x + 2
Знаем, че x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
(x - 2)(x + 2)/(x - 2) = x + 2
x + 2 = x + 2
Тъждество! Решение е всяко x ≠ 2
▶ Упражнение 16: Решете уравнението x - √(2x - 1) = 0
Решение: x - √(2x - 1) = 0
x = √(2x - 1)
x² = 2x - 1
x² - 2x + 1 = 0
(x - 1)² = 0
x = 1
▶ Упражнение 17: Решете уравнението |2x - 3| = 5
Решение: |2x - 3| = 5
Имаме два случая:
1) Когато 2x - 3 ≥ 0, тогава 2x - 3 = 5, откъдето x = 4
2) Когато 2x - 3 < 0, тогава -(2x - 3) = 5, откъдето -2x + 3 = 5, -2x = 2, x = -1
Решения: x = -1 или x = 4
▶ Упражнение 18: Решете уравнението x² - 5x + 6 = 0 (използвайки разлагане)
Решение: x² - 5x + 6 = 0
Разлагаме лявата страна на множители: (x - 2)(x - 3) = 0
Следователно x = 2 или x = 3
▶ Упражнение 19: Решете уравнението (x - 1)/(x + 2) = 3/4
Решение: (x - 1)/(x + 2) = 3/4
4(x - 1) = 3(x + 2)
4x - 4 = 3x + 6
4x - 3x = 6 + 4
x = 10
▶ Упражнение 20: Решете уравнението 1/(x - 1) + 1/(x + 1) = 1
Решение: 1/(x - 1) + 1/(x + 1) = 1
Привеждаме към общ знаменател:
(x + 1 + x - 1)/((x - 1)(x + 1)) = 1
2x/((x - 1)(x + 1)) = 1
2x = (x - 1)(x + 1)
2x = x² - 1
0 = x² - 2x - 1
Използвайки формулата: x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a
x = (2 ± √(4 + 4))/2
x = (2 ± 2√2)/2
x = 1 ± √2
Решения: x = 1 + √2 или x = 1 - √2
Заключение
Решаването на уравнения с една неизвестна е важно умение, което се прилага в различни области на математиката и науката. Чрез редовна практика на различни видове уравнения, можете да подобрите вашите умения за алгебрично мислене и решаване на проблеми.
Съвети за успешно решаване на уравнения
- Винаги проверявайте решението си, като го замествате обратно в оригиналното уравнение
- Внимавайте за стойности, които могат да направят знаменател равен на нула
- При решаване на сложни уравнения, разбивайте процеса на малки, логични стъпки
- Практикувайте разнообразни типове уравнения, за да развиете интуиция за различните техники на решаване