Дължина на окръжност и лице на кръг: формули с интуиция

Стефан Стратиев, Математика, 21 сеп 2026

Окръжността и кръгът са сред най-често срещаните геометрични фигури в ежедневието. Виждаме ги в колелата на велосипед, в капака на тенджера, в циферблата на часовник, в кръгла маса или в цветна леха. За да изчисляваме дължини и площи, трябва ясно да различаваме две величини: дължина на окръжност и лице на кръг.

Окръжността е само линията, която огражда фигурата. Кръгът включва както тази граница, така и всичко вътре в нея. Ако измерим дължината на ръба на кръгла чиния, намираме дължината на окръжността. Ако искаме да разберем колко място заема повърхността на чинията, намираме лицето на кръга.

В тази статия ще научим:

какво са радиусът и диаметърът;
защо числото π се появява във формулите;
как се намира дължината на окръжност;
как се намира лицето на кръг;
как се преобразуват формулите, когато е неизвестен радиусът или диаметърът;
как да решаваме задачи стъпка по стъпка и да избягваме типичните грешки.

Основни понятия

Радиус

Радиусът е отсечката, която свързва центъра на кръга с точка от окръжността. Обикновено го означаваме с r.
Всички радиуси в един и същ кръг са равни. Ако един радиус е 5 cm, всеки друг радиус на този кръг също е 5 cm.

Диаметър

Диаметърът е отсечка, която свързва две точки от окръжността и минава през центъра. Означаваме го с d.
Диаметърът е два пъти по-дълъг от радиуса:
d = 2r
Оттук следва и обратната формула:
r = d : 2
Например, ако диаметърът е 18 cm, радиусът е:
r = 18 : 2 = 9 cm

Важно: Преди да използваш формула, провери дали в условието е даден радиусът или диаметърът. Това е една от най-честите причини за грешен резултат.

Числото π

Числото π (пи) показва отношението между дължината на всяка окръжност и нейния диаметър. То е приблизително:
π ≈ 3,14159
В училищните задачи най-често използваме π ≈ 3,14, освен ако условието не изисква точен отговор. Когато е възможно, е удобно да оставим отговора с π, например 14π cm или 25π cm².

Дължина на окръжност

Дължината на окръжност се намира по една от двете равностойни формули:
C = 2πr
или
C = πd
Използваме първата формула, когато знаем радиуса, а втората – когато знаем диаметъра.
Буквата C идва от английската дума circumference. Резултатът е дължина, затова мерната единица е линейна: mm, cm, m, km и т.н.

Пример 1: дължина на окръжност при даден радиус

Задача: Намерете дължината на окръжност с радиус r = 7 cm. Оставете отговора с π.

Решение:

Даден е радиусът, затова използваме C = 2πr.
Замествайки r = 7 cm, получаваме:
C = 2π · 7 = 14π cm

Отговор: C = 14π cm.
Ако използваме π ≈ 3,14, получаваме приблизително:
C ≈ 14 · 3,14 = 43,96 cm

Пример 2: дължина на окръжност при даден диаметър

Задача: Намерете дължината на окръжност с диаметър d = 20 cm.

Решение:
Тъй като е даден диаметърът, използваме C = πd:
C = π · 20 = 20π cm
При π ≈ 3,14:
C ≈ 20 · 3,14 = 62,8 cm

Отговор: C = 20π cm, или приблизително 62,8 cm.

Лице на кръг

Лицето на кръг се намира с формулата:
S = πr^2
Това означава, че умножаваме π по радиуса, повдигнат на квадрат. Записът r^2 означава r · r.
Резултатът е площ, затова мерната единица е квадратна: mm², cm², m², km² и т.н.

Внимание: При лице радиусът се повдига на квадрат. Не използвай S = 2πr – това е формулата за дължина на окръжност, а не за лице на кръг.

Пример 3: лице на кръг при даден радиус

Задача: Намерете лицето на кръг с радиус r = 5 m. Оставете отговора с π.

Решение:
Използваме S = πr^2:
S = π · 5^2
Първо повдигаме радиуса на квадрат:
5^2 = 5 · 5 = 25
Следователно:
S = 25π m²
При π ≈ 3,14:
S ≈ 25 · 3,14 = 78,5 m²

Отговор: S = 25π m², или приблизително 78,5 m².

Пример 4: реален контекст – кръгла цветна леха

Кръгла цветна леха има радиус r = 3 m. Колко квадратни метра е площта, която трябва да бъде засадена?
Използваме формулата за лице:
S = πr^2 = π · 3^2 = 9π m²
Приблизително:
S ≈ 9 · 3,14 = 28,26 m²
Трябват приблизително 28,26 m² почва или цветя. Забележи, че отговорът е в квадратни метри, защото измерваме площ.

Намиране на радиус или диаметър по дадено лице

Понякога не е даден радиусът, а лицето на кръга. Тогава трябва да преобразуваме формулата:
S = πr^2
Делим на π:
r^2 = S : π
Извличаме квадратен корен:
r = √(S : π)

Пример 5: намиране на радиус по дадено лице

Задача: Лицето на кръг е S = 25π cm². Намерете радиуса.

Решение:
S = πr^2
Замествайки S = 25π, получаваме:
25π = πr^2
Делим двете страни на π:
25 = r^2
Следователно:
r = 5 cm
Избираме положителния корен, защото дължината не може да бъде отрицателна.

Отговор: r = 5 cm.
Ако трябва да намерим диаметъра, след това използваме d = 2r:
d = 2 · 5 = 10 cm

Връзка между дължина и лице

Дължината на окръжността и лицето на кръга зависят от радиуса, но по различен начин:

C = 2πr – радиусът участва на първа степен;
S = πr^2 – радиусът участва на втора степен.
Това означава, че ако удвоим радиуса, дължината на окръжността също се удвоява, но лицето се увеличава четири пъти.
Например, при радиус r имаме S = πr^2. При радиус 2r:
S = π(2r)^2 = 4πr^2
Следователно новият кръг има четири пъти по-голямо лице.

Чести грешки

Използване на диаметъра като радиус. Ако е даден диаметър 12 cm, радиусът е 6 cm, а не 12 cm.
Забравяне на квадрата. При лице използваме r^2, не само r.
Объркване на формулите. 2πr намира дължина на окръжност, а πr^2 намира лице на кръг.
Грешни мерни единици. Дължината е в cm или m, а лицето – в cm² или m².
Преждевременно закръгляне. Ако е възможно, първо работи с π и закръгли едва в края.
Пропускане на скоби. При радиус r = 2,5 cm трябва да пресметнем 2,5^2, а не да повдигнем на квадрат само част от числото.
Отрицателен радиус. При извличане на корен математически може да се появят два знака, но радиусът като дължина винаги е положителен.

Кратък алгоритъм за решаване

Запиши какво е дадено: r, d, C или S.
Преобразувай диаметъра в радиус, ако е необходимо: r = d : 2.
Избери правилната формула.
Замести данните със съответните мерни единици.
Пресметни внимателно степента и умножението.
Провери дали единицата е линейна или квадратна.
Прецени дали резултатът е разумен – например лице не може да е отрицателно.

Кратък тест

Намерете дължината на окръжност с радиус r = 3 cm.
Намерете дължината на окръжност с диаметър d = 10 cm.
Намерете лицето на кръг с радиус r = 4 cm.
Кръг има лице S = 49π cm². Какъв е радиусът му?
Кръгла маса има диаметър d = 1,2 m. Каква е площта на плота?

Отговори:

C = 6π cm.
C = 10π cm.
S = 16π cm².
r = 7 cm.
r = 0,6 m, следователно S = π · 0,6^2 = 0,36π m², или приблизително 1,13 m².

Домашно упражнение

Намерете дължината на окръжност с радиус 8 cm.
Намерете лицето на кръг с диаметър 14 cm.
Колко метра лента са нужни, за да се обиколи кръгла градина с радиус 6 m?
Кръгла пица има диаметър 30 cm. Каква е площта ѝ?
Площта на кръгла площадка е 100π m². Намерете радиуса и диаметъра ѝ.
Сравнете лицата на два кръга с радиуси 3 cm и 6 cm. Колко пъти по-голямо е второто лице?
Съставете собствена задача от ежедневието, в която се използва формулата C = 2πr или S = πr^2.

Обобщение

Най-важните формули са:

d = 2r – връзка между диаметър и радиус;
C = 2πr – дължина на окръжност чрез радиуса;
C = πd – дължина на окръжност чрез диаметъра;
S = πr^2 – лице на кръг.

Запомни разликата: окръжността е границата, а кръгът е цялата област вътре в нея. Дължината се измерва с линейни единици, а лицето – с квадратни единици.

Сподели в: