☰☰

Координатна система: точка, разстояние и среда на отсечка

Стефан Стратиев, Математика, 16 сеп 2026

Декартова координатна система, наричана от тук нататък за кратко координатна система, е един от най-удобните начини да описваме точното разположение на точки и фигури. Вместо да казваме "точката е малко надясно и нагоре", използваме две числа, които указват нейното място. Така можем да начертаем точки, да сравняваме разположения на фигури, да намираме разстояния между тях и да решаваме задачи от геометрия.
Координатната система се използва в карти, компютърни игри, архитектура, навигация, програмиране и физика. Когато разберем как се разчитат координати и как се работи с тях, много задачи стават по-ясни и подредени.
В тази статия ще научиш какво представляват координатните оси и квадрантите, как се записват координатите на точка, как се намира средата на отсечка и как се изчислява разстоянието между две точки. Всички примери са решени стъпка по стъпка.

Основни понятия

Координатни оси и начало на координатната система

Правоъгълната координатна система се състои от две перпендикулярни числови оси:

  • хоризонтална ос Ox, наречена абсцисна ос;
  • вертикална ос Oy, наречена ординатна ос.

Двете оси се пресичат в точка, наречена начало на координатната система. Обикновено я означаваме с O(0, 0). Числото 0 е началото и на двете оси.
По оста Ox положителните числа са надясно от началото, а отрицателните – наляво. По оста Oy положителните числа са нагоре, а отрицателните – надолу. Разстоянието между две съседни деления обикновено е една мерна единица, но в различни задачи мащабът може да бъде друг.

Как се записват координатите на точка

Всяка точка се записва с наредена двойка числа:
A(x, y)
Първото число, x, се нарича абсциса и показва хоризонталното положение на точката. Второто число, y, се нарича ордината и показва вертикалното положение.
Важно е числата винаги да се четат в този ред: първо x, после y. Например при точка A(3, 2) се придвижваме 3 единици надясно и 2 единици нагоре. При точка B(–4, 1) се придвижваме 4 единици наляво и 1 единица нагоре.
Ако точката лежи върху оста Ox, нейната ордината е 0. Например C(5, 0). Ако точката лежи върху оста Oy, нейната абсциса е 0. Например D(0, –3). Началото на координатната система е единствената точка, чиито две координати са нула: O(0, 0).

Квадранти и знаци на координатите

Двете оси разделят равнината на четири части, наречени квадранти. Те се номерират с римски цифри обратно на часовниковата стрелка, започвайки от горната дясна част.

  • В I-ви квадрант: x > 0 и y > 0 – и двете координати са положителни.
  • В II-ри квадрант: x < 0 и y > 0 – абсцисата е отрицателна, а ординатата е положителна.
  • В III-ти квадрант: x < 0 и y < 0 – и двете координати са отрицателни.
  • В IV-ти квадрант: x > 0 и y < 0 – абсцисата е положителна, а ординатата е отрицателна.

Например точката P(–2, 5) се намира във II квадрант, защото първата координата е отрицателна, а втората – положителна. Точката Q(4, –3) се намира в IV квадрант.

Примери стъпка по стъпка

Пример 1: Намиране на координати по чертеж

Да определим координатите на точка, която се намира на 3 единици надясно от началото и на 4 единици нагоре.
Решение:

  1. От началото O се придвижваме по оста Ox 3 единици надясно. Получаваме x = 3.
  2. От тази позиция се придвижваме вертикално 4 единици нагоре. Получаваме y = 4.
  3. Записваме координатите в реда x, y.

Следователно точката е A(3, 4). Тя се намира в I-ви квадрант.
Ако вместо надясно се придвижим 3 единици наляво, абсцисата ще бъде –3. Ако вместо нагоре се придвижим надолу, ординатата ще бъде отрицателна. Например точка, която е на 3 единици наляво и на 4 единици надолу, има координати B(–3, –4).

Пример 2: Намиране на координатите на средата на отсечка

Нека са дадени точките A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂). Координатите на средата M на отсечката AB се намират, като усредним съответните координати:
M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

Да намерим средата на отсечката с краища A(2, –1) и B(6, 3).

Решение:

  1. Събираме абсцисите: 2 + 6 = 8.
  2. Разделяме резултата на 2: 8 : 2 = 4.
  3. Събираме ординатите: –1 + 3 = 2.
  4. Разделяме резултата на 2: 2 : 2 = 1.
  5. Записваме получените координати.

Следователно M(4, 1).
Можем да проверим резултата и по рисунка: x-координатата 4 е точно по средата между 2 и 6, а y-координатата 1 е точно по средата между –1 и 3.

Пример 3: Разстояние между две точки по хоризонтала или вертикала

Ако две точки имат еднаква ордината, отсечката между тях е хоризонтална. Тогава разстоянието се намира като абсолютна стойност на разликата между абсцисите:
AB = |x₂ – x₁|
Например за A(–2, 3) и B(5, 3) имаме:
AB = |5 – (–2)| = |7| = 7
Ако две точки имат еднаква абсциса, отсечката е вертикална. Тогава:
AB = |y₂ – y₁|
За точките C(4, –1) и D(4, 6) получаваме:
CD = |6 – (–1)| = 7

Пример 4: Разстояние между произволни две точки

Нека са дадени точките A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂). Разликата между абсцисите е хоризонталната промяна, а разликата между ординатите е вертикалната промяна. Тези две промени са катетите на правоъгълен триъгълник, чиято хипотенуза е отсечката AB.
Затова използваме теоремата на Питагор:
AB = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)
Да намерим разстоянието между A(0, 0) и B(3, 4).
Решение:

  1. Намираме разликата на абсцисите: 3 – 0 = 3.
  2. Намираме разликата на ординатите: 4 – 0 = 4.
  3. Повдигаме разликите на квадрат: 3² = 9 и 4² = 16.
  4. Събираме: 9 + 16 = 25.
  5. Намираме квадратен корен: √25 = 5.

Следователно AB = 5 единици.

Нека разгледаме още един пример с отрицателни координати. Да намерим разстоянието между C(–1, 2) и D(5, –2).
CD = √((5 – (–1))² + (–2 – 2)²)
CD = √(6² + (–4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13
Приблизително това е 7,21 единици. Важно е отрицателният знак да остане в скобите, когато изчисляваме разликите.

Чести грешки

1. Размяна на x и y

При точка A(2, 5) някои учени се придвижват първо 5 единици надясно, а после 2 нагоре. Това води до грешна позиция. Запомни: първата координата е хоризонтална, а втората – вертикална.

2. Неправилни знаци по квадрантите

В III-ти квадрант и двете координати са отрицателни. В IV-ти квадрант x е положително, а y – отрицателно. Полезно е първо да определиш квадранта, а след това да провериш знаците.

3. Забравяне на скобите при отрицателни числа

Изразът –2 – 5 е равен на –7, а изразът 5 – (–2) е равен на 7. При формулата за разстояние винаги поставяй отрицателните координати в скоби.

4. Грешка при средата на отсечка

Не трябва да събираме всички координати заедно и да делим на 2. Абсцисите се усредняват отделно, а ординатите – също отделно.

5. Пропускане на квадратния корен

При формулата за разстояние първо получаваме квадрата на разстоянието. Накрая трябва да извадим квадратен корен, за да намерим самото разстояние.

Кратък тест

  1. В кой квадрант се намира точката A(–3, 4)?
  2. Кои са координатите на точка, която лежи на 6 единици наляво от началото и на 2 единици надолу?
  3. Намери средата на отсечката с краища A(2, –1) и B(6, 3).
  4. Намери разстоянието между C(0, 0) и D(3, 4).
  5. Намери разстоянието между E(–2, 1) и F(4, 1).

Отговори:

  1. II-ри квадрант.
  2. (–6, –2).
  3. M(4, 1).
  4. 5 единици.
  5. 6 единици.

Самостоятелна работа

  1. Начертай координатна система и нанеси точките A(2, 3), B(–4, 2), C(–3, –2) и D(5, –1). Запиши квадранта на всяка точка.
  2. Определи координатите на точките, които се намират на 4 единици надясно и 3 единици нагоре; на 2 единици наляво и 5 единици надолу.
  3. Намери средите на отсечките AB, CD и EF, ако E(–6, 2) и F(4, –4).
  4. Намери дължината на отсечката между (–3, 0) и (5, 0).
  5. Намери разстоянието между (1, 2) и (4, 6).
  6. Състави две различни точки, които са на разстояние 7 единици една от друга и лежат на една хоризонтална права.
  7. Обясни защо точките A(3, 0) и B(0, 3) не лежат в един и същи квадрант.

Обобщение

За да работиш уверено с координати, запомни няколко основни правила:

  • първата координата x показва движението наляво или надясно;
  • втората координата y показва движението нагоре или надолу;
  • знаците на координатите определят квадранта;
  • средата на отсечка се намира чрез усредняване на съответните координати;
  • разстоянието между две точки се намира с теоремата на Питагор;
  • при отрицателни числа използвай скоби и проверявай внимателно знаците.

Координатната система е основа за много следващи теми – графики на функции, линейни уравнения, вектори и аналитична геометрия. Колкото повече задачи решаваш и изобразяваш, толкова по-лесно ще разчиташ координати и ще виждаш връзката между числата и геометричната фигура.

Сподели в: