Разстояние от точка до права: интуитивни методи

Въведение

Представи си, че стоиш на определено място и искаш да стигнеш до най-близката железопътна линия. Как ще тръгнеш? Инстинктивно ще се движиш перпендикулярно към нея — това е най-краткият път. Точно така работи и разстоянието от точка до права в математиката.

Това разстояние е дължината на перпендикуляра, спуснат от точката към правата. Темата е основна в координатната геометрия (8–10 клас) и намира приложение в много области:

• Оптимизация на маршрути — намиране на най-краткия път


• Компютърна графика — изчисляване на отстояния между обекти


• Анализ на данни — измерване на отклонения от тренд


• Робототехника — навигация и избягване на препятствия

В тази статия ще изградим ясна визуална и математическа интуиция, ще научим формулата и ще я приложим в разнообразни задачи — от базови до предизвикателни.

Основни понятия

Какво е перпендикуляр към права?

Перпендикулярът от точка P до права l е отсечката, която:

• Свързва точката P с права l


• Образува прав ъгъл (90°) с правата l


• Има най-малка възможна дължина измежду всички отсечки от P до l

Аналитично описание на права

В координатната система правата се описва с общо уравнение:

Примери:

• 3x − 4y + 5 = 0 → нормален вектор n = (3, −4)


• x + y − 2 = 0 → нормален вектор n = (1, 1)


• 2x − y + 3 = 0 → нормален вектор n = (2, −1)

Формулата за разстояние

Ако имаме:

• Точка P(x₀, y₀)


• Права Ax + By + C = 0

то разстоянието d от точката до правата е:

Как да стигнем до формулата (интуитивно обяснение)

Стъпка 1: Нормалният вектор е ключът

За правата Ax + By + C = 0, векторът n = (A, B) е перпендикулярен на всички посоки по правата. Това означава, че разстоянието се измерва точно по посоката на n.

Стъпка 2: Избор на произволна точка на правата

Нека вземем произволна точка Q на правата. Векторът PQ свързва Q с нашата точка P. За да намерим разстоянието, трябва да проектираме PQ върху нормалния вектор n.

Стъпка 3: Алгебрична проекция

Математически, проекцията се изразява чрез скаларното произведение. След алгебрични манипулации се оказва, че "подписаното" отместване на P спрямо правата е точно стойността Ax₀ + By₀ + C.

Стъпка 4: Абсолютна стойност и нормализация

• |Ax₀ + By₀ + C| — премахваме знака (разстоянието е положително)


• / √(A² + B²) — делим на дължината на нормалния вектор, за да получим реална дължина

Примери стъпка по стъпка

Пример 1: Разстояние от P(3, 4) до правата 3x − 4y + 5 = 0

Дадено:

• Точка P(3, 4)


• Права 3x − 4y + 5 = 0

Решение:

Стъпка 1: Идентифицираме A = 3, B = −4, C = 5, x₀ = 3, y₀ = 4

Стъпка 2: Пресмятаме числителя:
| Ax₀ + By₀ + C | = | 3·3 + (−4)·4 + 5 | = | 9 − 16 + 5 | = | −2 | = 2

Стъпка 3: Пресмятаме знаменателя:
√(A² + B²) = √(3² + (−4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Стъпка 4: Намираме разстоянието:
d = 2/5 = 0,4

Пример 2: Разстояние от началото O(0, 0) до правата x + y − 2 = 0

Дадено:

• Точка O(0, 0) — началото на координатната система


• Права x + y − 2 = 0

Решение:

Стъпка 1: A = 1, B = 1, C = −2, x₀ = 0, y₀ = 0

Стъпка 2: Числител:
| 1·0 + 1·0 + (−2) | = | −2 | = 2

Стъпка 3: Знаменател:
√(1² + 1²) = √2

Стъпка 4: Разстояние:
d = 2/√2 = 2·√2/2 = √2 ≈ 1,41

Пример 3: Разстояние от P(2, −1) до правата 2x − y + 3 = 0

Дадено:

• Точка P(2, −1)


• Права 2x − y + 3 = 0

Решение:

Стъпка 1: A = 2, B = −1, C = 3, x₀ = 2, y₀ = −1

Стъпка 2: Числител:
| 2·2 − (−1) + 3 | = | 4 + 1 + 3 | = | 8 | = 8

Стъпка 3: Знаменател:
√(2² + (−1)²) = √(4 + 1) = √5

Стъпка 4: Разстояние:
d = 8/√5 ≈ 3,58

Пример 4: Намиране на най-близката точка (проекция) върху правата

Понякога не само искаме разстоянието, но и координатите на най-близката точка Q на правата до дадената точка P.

Пример: Нека намерим най-близката точка от P(3, 4) до 3x − 4y + 5 = 0.

Стъпка 1: n = (3, −4), A² + B² = 9 + 16 = 25

Стъпка 2: t = (3·3 − 4·4 + 5) / 25 = (9 − 16 + 5) / 25 = −2/25

Стъпка 3: Q = (3, 4) − (−2/25)·(3, −4) = (3, 4) + (6/25, −8/25)

Q = (3 + 6/25, 4 − 8/25) = (81/25, 92/25) = (3,24; 3,68)

Проверка: Разстоянието PQ = √[(6/25)² + (−8/25)²] = √(36 + 64)/25 = 10/25 = 2/5 ✓

Чести грешки и как да ги избегнем

❌ Грешка 1: Забравен модул в числителя

Грешно:
d = (Ax₀ + By₀ + C) / √(A² + B²)

Правилно:
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

❌ Грешка 2: Неправилно преобразуване на уравнението

Пример: Нека имаме правата y = 2x + 3.

Грешно: A = 2, B = 1, C = 3 (директно от y = 2x + 3)

Правилно: Преобразуваме до общ вид:
y = 2x + 3 → 2x − y + 3 = 0

Така A = 2, B = −1, C = 3.

❌ Грешка 3: Деление на грешен знаменател

Грешно:
d = |Ax₀ + By₀ + C| / (A² + B²)

Правилно:
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

❌ Грешка 4: Объркване с пресечна точка

Най-близката точка Q (проекцията) не е произволна точка от правата. Тя е единствената точка, за която PQ е перпендикулярно на правата.

Бърз тест (с отговори)

Отговори:

1) d = √2 ≈ 1,41

2) d = 8/√5 ≈ 3,58

3) d = 2/5 = 0,4

4) Q = (1, 1) (проекцията на началото върху правата)

Домашно упражнение

Реши следните задачи. За всяка намери разстоянието и координатите на най-близката точка върху правата.

1) P(1, 2), l: x − 2y + 1 = 0

2) P(−2, 5), l: 2x + y − 7 = 0

3) P(4, −3), l: −x + 4y + 6 = 0

4) P(0, 0), l: 5x − 12y + 13 = 0

5) P(a, b), l: Ax + By + C = 0 — изведи общата формула за Q и провери, че Q е на l (подставяй координатите на Q в уравнението).

6) Намери всички точки на правата 3x + 4y − 10 = 0, които са на разстояние 2 от точката (0, 0).

7) Докажи, че ако точка P е на правата Ax + By + C = 0, то формулата дава d = 0.

8) (Предизвикателна) Намери точка P на оста Ox, която е на равни разстояния от правите x + y − 2 = 0 и 2x − y + 3 = 0.

Полезни идеи и разширения

🌐 Разстояние в 3D пространството

В триизмерно пространство разстоянието от точка P(x₀, y₀, z₀) до равнина Ax + By + Cz + D = 0 се намира по аналогична формула:

📊 Чувствителност на формулата

Как малки промени в коефициентите A, B, C влияят на разстоянието? Това е полезно при анализ на грешки в измервания.

🎯 Параметрично описание на прави

Ако правата е дадена параметрично: r(t) = r₀ + t·v, където v е направляващ вектор, формулата се изразява чрез векторно произведение:

d = |(P − r₀) × v| / |v|

🔍 Разстояние между две успоредни прави

Ако имаме две успоредни прави Ax + By + C₁ = 0 и Ax + By + C₂ = 0, разстоянието между тях е:

Обобщение

Математика

координатна геометрия,

перпендикуляр,

проекция върху права,

разстояние от точка до права,

формула Ax+By+C